Odhad fraktální dimenze

Jak již bylo zmíněno, významné je využití fraktální geometrie pro popis reálných struktur, při kterém je využíváno odhadu fraktální dimenze, která reprezentuje míru složitosti studovaného objektu. Odhadovat fraktální dimenzi pro matematické fraktály ale nemá velký význam, neboť je přesnější a jednodušší vypočítat jejich dimenzi na základě známých pravidel – transformací, kap. Fraktální (Hausdorff-Besicovitch) dimenze D_H , Definice fraktálu pomocí soběpodobnostní dimenze D_S a Definice fraktálu pomocí kapacitní dimenze D_K . Odhadu dimenze matematických fraktálů lze především použít pro posouzení přesnosti a citlivosti jednotlivých metod odhadu.

Odhad fraktální dimenze je možné provádět pro množiny bodů, časové řady, topologicky 2D a 3D objekty. Pro jednotlivé objekty v různých topologických dimenzích se používají různé metody odhadu fraktální dimenze, které lze použít jen pro objekty v určité topologické dimenzi. Metody pro odhad v jiné topologické dimenzi lze použít pouze po určité modifikaci základního algoritmu. Příkladem je mřížková (box) metoda. Pro posouzení bodů v přímce je boxem interval. V případě 2D tělesa je boxem čtverec a pro 3D tělesa je boxem krychle, jak je uvedeno v tab. 1. Pro stanovení fraktální dimenze je možno použít několik koncepcí. Nejednodušší je tzv. "obvodová metoda" (Compass method) a tzv. „mřížková (box) metoda“ (Box method), kap. R/S dimenze a Mřížková metoda.

Tab. 1 Výběr metod odhadu fraktální dimenze

Pro odhad Hurstova koeficientu soběapříbuzných fraktálů a z něj fraktální dimenze lze použít několik analýz, které vesměs vycházejí ze statistických metod. Je to „R/S analýza“ (Range/Standart Deviation Analysis), „Celková variační metoda“, „Spektrální fraktální analýza“ (Power-spectral analysis), „Roughness -length analysis“ a další. První dvě z těchto metod jsou v kapitole R/S metoda , Celková variační metoda . Takto odhadnutá fraktálnídimenze je nazývána podle jména metody, kterou byla odhadnuta, např. box (mřížková) dimenze, R/S dimenze, apod.

Obvodová metoda

Obr. 25 Princip Obvodové metody, měření délky pobřežní linie Velké Británie

Metoda je užívána k odhadu fraktální dimenze křivek, proto může být například použita pro odhad fraktální dimenze u zmíněné pobřežní linie a lze ji odhadnout za použití mapy a kružítka. Délku pobřeží bude měřena různě otevřeným kružítkem r_OBV a bude počítán počet kroků potřebných pro pokrytí N_OBV, jak je vidět na obr. 25. Délka pobřežní linie je pak dána výrazem :

L(r_OBV)= N(r_OBV).r_OBV

Tabulka 2 nám ukazuje zřetelně prodlužování délky pobřežní linie se snižujícím se rozpětím kružítka.

Pokud by mělo pobřeží konečnou délku, L(r_OBV) by se přibližovalo k hodnotě L₀ pro     r-> 0. Obr. 26 ukazuje závislost mezi         log r_OBV a log L(r_OBV) a délky L(r_OBV) se neblíží k žádné konečné hodnotě, ale stále roste. Jak již bylo zmíněno dříve, takovýto jev se nazývá Richardsonův efekt (kap.Co je to fraktální geometrie a fraktál? a Fraktální (Hausdorff-Besicovitch) dimenze D_H . Tedy na otázku: "Jak dlouhá je pobřežní linie ostrova?", nelze jednoznačně odpovědět. Délka se totiž mění v závislosti na zvoleném měřítku.

Protože závislost mezi logr_OBV  a log L(r_OBV) je ideálně přímková, platí vztah:

(32)

D_OBV je obvodovou dimenzí, což je odhadnutá fraktální dimenze touto metodou.

Obr. 26 Závislost mezi log r a log L

Ze sklonu regresní přímky můžeme po úpravě vztahu (32) odhadnout dimenzi D_R:

(33)

V tomto případě vychází obvodová dimenze DR = 1,2492 a platí, že čím je hodnota DR vyšší než hodnota topologické dimenze, tím je vyšší stupeň nepravidelnosti objektu. Změna délky se změnou měřítka je pak výraznější.

Tab. 2 Délka pobřežní linie

Krok r_OBV se prodlužuje až po krok délky pokrývající celou křivku (obvod) podle vztahu

kde b je faktor zvětšení (převážně je volen 2) a i je celé číslo v intervalu [0,n-1], n je počet kroků (výpočtů)

Mřížková metoda

Jednoduchou a univerzální metodou pro odhad fraktální dimenze je mřížková metoda (box metoda). Princip metody je vysvětlen na Sierpinského těsnění. Těleso je pokrýváno boxy (mřížkami) o různých stranách buněk r jak je znázorněno na obr. 27.

Obr. 27 Princip Box metody pokrývání Sierpinského trojúhelníku boxy o velikosti r=10 a r=10

V každém kroku je počítán počet boxů N(r) potřebných pro pokrytí tělesa. Počet těchto boxů je dán vztahem:

(35)

D_B je box dimenze (pro srovnání, vzorec 18).

Pro odhad fraktální dimenze je použit algoritmus, jenž stanovuje plochu potřebnou pro pokrytí objektu. Za použití vztahu (35) je celková plocha pokrytí A(r) boxy o straně r dána vztahem:

(36)

Logaritmická závislost mezi plochou log₂ A a velikosti strany log₂ r je na obr. 28, jedná se o tzv. Richardson - Mandelbrotův graf.

(Poznámka : Není důležité, jakých logaritmů je použito (log, ln, log₂). Podmínkou je pouze, aby se jednalo o tentýž logaritmus při jednotlivých odhadech fraktální dimenze. Nicméně Richardson - Mandedlbrotuv graf využívá dvojkový logaritmus.)

D_B můžeme pak získat ze sklonu regresní přímky:

(37)

Opět D_B je odhadnutá fraktální dimenze a v ideálním případě by se měla rovnat skutečné fraktální dimenzi. V případě Sierpinskeho těsnění ze sklonu regresní přímky vyjde odhadnutá fraktální dimenze D_B = 1,586 a skutečná fraktální dimenze je D_F = 1,5849 (jak je vypočteno v kapitole Definice fraktálu pomocí soběpodobnostní dimenze D_S.

S Box metodou lze odhadovat fraktální dimenzi i pobřežní linie, tedy křivky na ploše. Stejně jako pro Sierpinského těsněni platí vztah (35). Pro délku pak platí:

(39)

Box metodu je také možné použít i těleso ve třech dimenzích. Místo čtverců jsou pak použity krychle pro pokrytí objektu. Za použití vztahu (35) můžeme psát:

(40)

Při použití metody pro množinu bodů se použije vztah (35) bez dalších úprav a ten lze také použít podle [9,A4] přímo pro výpočet box dimenze objektu na ploše.

R/S metoda (Range/Standart Deviation Analysis) [1] je určena pro odhad Hurstova koeficientu (viz kap. Soběpříbuznost a Hurstův exponent ) ze kterého lze jednoduše vypočítat fraktální dimenzi vztahem (31):

Je uvažován interval nebo okno délky w v signálu objektu se soběpříbuznou fraktální dimenzí a v oknu jsou definovány dvě veličiny:

R(w), řada získaná z hodnot y v intervalu. Řada je měřená s ohledem na trend v oknu, kde trend je jednoduše odhadnut jako úsečka spojující první a poslední bod v oknu. Je odečítán průměrný trend v oknu.

Obr.28Richardson - Mandelbrotův graf pro Sierpinského těsnění

S(w), standardní odchylka první derivace dy hodnoty y uvnitř okna. První derivace hodnot y je definována jako rozdíl mezi hodnotami y v pozici x a hodnotami y v předchozí pozici na ose x:

(41)

kde dx je vzorkovací interval, tedy interval mezi dvěma sousedními hodnotami.

Spolehlivé měření S(w) vyžaduje data s konstantním vzorkovacím intervalem dx, neboť rozdíl mezi následujícími hodnotami y je funkcí vzdálenosti mezi nimi. S(w) v R/S analýze je použito ke standardizaci řady R(w) umožňující porovnání rozdílných množin dat; pokud S(w) se nepoužije, řada R(w) může být počítána na množině dat, které nemají konstantní vzorkovací interval.

Poměr R/S(w) je definován jako:

(42)

kde w je délka okna a hranaté závorky označují průměrnou hodnotu čísel řady R(w). Protože se jedná o soběpříbuznost, základem metody je předpoklad, že řada R/S(w) získaná z hodnot y v oknu délky w je úměrná délce okna umocněného Hurstovým koeficientem, tedy:

(43)

Obr.29Simulace Brownova pohybu pomocí zadaného Hurstova koeficientu H (nahoře) a odhad hurstova koeficientu HODH s odhadem fraktální dimenze pomocí R/S dimenze DRS

Vstupní signál je tedy dělen na intervaly délek w, pro které je měřeno R(w) a S(w) v každém intervalu a počítáno R/S(w) jako průměr poměru R(w)/S(w) podle vztahu (41). Tento proces je mnohokrát opakován a druhý logaritmus R/S(w) je vynášen na vertikální osu a druhý logaritmus w na osu horizontální, tzv. pox-plot (obr. 29 dole). Pokud je signál soběpříbuzný, pak ze sklonu regresní přímky všech vypočtených hodnot je vypočten Hurstův koeficient H, na základě úpravy vztahu (43) platí:

(44)

Fraktální dimenzi lze vypočítat z Hurstova koeficientu z výrazu (31).

Na obr. 29 (nahoře) jsou také ukázány časové řady generované pomocí algoritmu simulace Brownova pohybu, kde Hurstův koeficient je vstupním parametrem pro generaci řady. Po generaci je zpětně odhadnutá fraktální dimenze pomocí R/S metody (obr. 29, dole). Z obrázku je zřejmý rozdíl ve strukturovanosti časových řad a jejich Hurstovým koeficientem a vypočtenou RS dimenzí.

Celková variační metoda [3] je založena na rozdělení původní časové řady do bloků velikosti t_s a výpočtu průměrné hodnoty každého bloku, tedy uvažuje se celková (seskupená) řada:

(45)

pro posloupnost hodnot t_s. Index k označuje blok a je vypočítána vzorkovací variace řady (sample variance) (k)k=1,2,… uvnitř každého bloku, která je odhadem VarV^(t_s).

Pro všechny řady V₁,…,V_N, dané velikosti bloku t_s, pro celkový počet bloků (kde l_V je délka celé časové řady V), vypočtené (k) pro k=1,2,…,N_BLOCK, je tedy vypočtena vzorkovací variace:

(46)

Tato procedura se opakuje pro různé hodnoty velikosti bloku t_s. Do grafu se pak vynáší logaritmus vzorkovací variace versus log(t_s). Je nutné vybrat t_s, , takové jež má ekvidistantní vzdálenosti na logaritmické škále tak, že t_Si+1/t_Si =C, kde C je konstanta, která závisí na délce časové řady a požadovaném počtu bodů v grafu závislostí versus log(t_s).

Pokud je odhad , výsledné body by měly ležet na přímce se stoupáním. V praxi je stoupání odhadnuto pomocí regresní přímky bodů grafu. Předpokládá se, přitom, že délka bloku t_s a délka celé časové řady l_V jsou velké, a že t_S<<l_V.. jak délka každého bloku, tak počet boxů je velký.