Kochova křivka a Kochova vločkaKochova křivka a Kochova vločka patří mezi IFS fraktály a konstrukce Kochovy vločky byla již popsána v kapitole: Jak lze fraktály rozčlenit, jaká je jejich „konstrukce“? Pokud jako iniciátor bude rovnostranný trojúhelník, a generátor stejný jako u Kochovy křivky, pak je získána tzv. Kochova vločka ( obr. 4).
Cantorova množinaKonstrukce Cantorovy množiny je vcelku triviální záležitostí. Celá tato množina leží v intervalu [1, 0] a její
Sierpinskeho těsněníSierpinského těsnění je možné konstruovat pomocí několika principů. Prvním je konstrukce rozdělením trojúhelníku na menší čtyři trojühelníky a odstranění prostředního, viz obr. 7. Z matematického hlediska je srozumitelnější si představit konstrukci jako afinní transformace algoritmem IFS. Pro generaci tohoto fraktálu je vhodné jako počáteční objekt použít trojúhelník, který je dále transformován. Nicméně je možné použít i čtverec, bod, či jiný objekt (např. text) [10, 11 ]. Po dostatečném počtu iterací vliv tvaru počátečního objektu vymizí. Důležité pro algoritmus IFS jsou afinní transformace. Na příkladě je užito čtverce o délce stran 1, obr. 8. V každém kroku (iteraci) jsou použity tři transformace. První zmenší čtverec na 1/2 a ponechá na místě. Druhá transformace zmenší čtverec opět o 1/2 a posune na pozici 0,5; 0. Třetí transformace provede stejné zmenšení a posun na pozici 0,5; 0,5. Po dostatečném množství iterací je získán obraz Sierpinského těsnění.
Možná je i jiná konstrukce tohoto zajímavého fraktálu. Lze si na něm ukázat, jak z náhodného procesu je možno získat pravidelnost a nastínit si pojem Deterministický chaos. Nejprve jsou sestrojeny tři body, jako vrcholy rovnostranného trojúhelníku. Následně je zvolen bod uvnitř tohoto trojúhelníku a jeden z vrcholů trojúhelníku. Vzdálenost mezi bodem a vrcholem je rozdělena na půl a vznikne tak bod. Opět je zvolen jeden z vrcholů trojúhelníku a rozdělena vzdálenost mezi bodem a vrcholem napůl. Tento princip je mnohokrát opakován. První body, které mohou být mimo tuto množinu se během několika kroků stanou součástí tělesa a postupně se začne objevovat Sierpinského těsnění. Obr. 9 ukazuje průběh generování po 50, 500, 5000, 50000 krocích. Jak je vidět, je dobré provést minimálně 5000 kroků tak, aby byl získán uspokojivý obraz Sierpinského těsnění. Takové generování tohoto fraktálu je nazýváno „Hra chaosu“. Velice pěkně jsou tyto a další „hříčky“ deterministického chaosu podány formou hry na webu [A3]. Další možností jak generovat tento fraktál jsou Buněčné automaty a Pascalův trojúhelník. [6, 7, 8, 18, 11].
Ještě je vhodné připomenout že, fraktální dimenze Sierpinského těsnění je DF= 1,5849 a topologická je DT = 1. Sierpinského těleso (nekonečně mnoho iterací) je tvořeno spojitou křivkou. Plocha tělesa je nulová. Příklady dalších fraktálů vzniklých algoritmem IFSNa obr. 10 je zobrazeno několik dalších fraktálů vzniklých afinními transformacemi. Některé fraktály jsou tzv. soběpodobné a jiné soběpříbuzné. Záleží na tom, zda bylo pro generaci těchto fraktálů použito afinní transformace zmenšení izotropní (ve všech směrech stejné zmenšení), pak je získán fraktál soběpodobný. Pokud bylo použito anizotropní transformace (v každém směru jiné zmenšení) je získán fraktál soběpříbuzný. Jak je vidět, tyto fraktály mohou mít nejenom „přísně matematický vzhled“, ale také se mohou podobat tomu, co je známo z přírody. Příkladem je fraktál „Strom“ a „Větvička“. Zdrojový kód ISF transformace je přejat z [10, 11].
Mandelbrotova množinaJiným typem fraktálů je TEA. Pro tento typ fraktálů se využívá komplexní roviny, která je pro generaci fraktálu typu TEA definována maticí komplexních čísel. Jednotlivé body matice jsou brány jako vstupní hodnoty iterace, která je dána například vztahem:
což je rovnice Mandelbrotovy množiny Pro každý bod matice, který představuje c (komplexní číslo), je spuštěn tento algoritmus, kde počáteční z0=0. Po každém kroku v daném bodu je proveden test, zda řešení směřuje k nekonečnu nebo zda se blíží ke konečné hodnotě. Pokud řešení směřuje k nekonečnu, pak bod do množiny nepatří a výpočtová smyčka se zastaví, ale pokud řešení nesměřuje k nekonečnu, přejde se k dalšímu kroku. Nově vypočtené číslo předcházejícího kroku zn se použije jako výchozí a provede se znovu test, výpočet (1). Pokud řešení ani po nekonečně mnoha krocích nesměřuje k nekonečnu, pak testovaný bod do množiny patří. Tento algoritmus se provede pro každý bod matice komplexních čísel a v reálném výpočtu se provádí jen konečný počet iterací. 100 iterací už vede k uspokojivému výsledku a 1000 iterací zaručuje správný výsledek. Samotný algoritmus testu zda bod do množiny patří nebo ne, je prováděn přes kontrolu průběžné sumy. Pokud průběžná suma míří k nekonečnu a stále více se vzdaluje od středu roviny, výchozí bod do množiny nepatří; pokud se stane, žeprůběžná suma buď v reálné, nebo v imaginární části přesáhne 2 směrem nahoru nebo -2 směrem dolů, znamená to, že míří k nekonečnu a program může přejít k dalšímu bodu. Jestliže však program výpočet mnohokrát zopakuje a suma číslo 2 (-2) nepřesáhne, pak bod do množiny patří. K zobrazení výsledku výpočtů je často používána barevná škála, znázorněná na obr. 11. Černé plochy obrázku tvoří množinu bodů, která je fraktálním obrazcem – Mandelbrotovou množinou, nebo její výřez. Ostatní barvy reprezentují části, které do množiny nepatří a začaly unikat do nekonečna po několika krocích. Barevná škála tak reprezentuje, po kolika krocích se výpočet přeruší. Jestliže se například iterace přeruší po deseti cyklech, program může bod zakreslit žlutě, pro dvacet cyklů oranžově, pro čtyřicet cyklů červeně, a tak dál. Výběr barev a kritérium přerušení cyklu mohou být měněny podle programátorova vkusu. Barvy znázorňují obrysy terénu při hranicích vlastní množiny [z 4]. Tmavší barva reprezentuje vyšší hodnoty a světlejší nižší hodnoty. Na obrázku jsou zobrazena i místa výřezů a jejich zvětšení ukazuje nádhernou strukturovanost, členitost a rozmanitost množiny.
Historie Mandelbrotovy množiny je datována teprve do roku 1979, kdy se Benoit Mandelbrot pokoušel o zobecnění Juliových množin. V komplexní rovině objevil obrázek, který mohl sloužit jako katalog Juliových množin, či spíše úvod do studiakaždé z nich. Tento obrázek byl nazván po svém objeviteli Mandelbrotova množina. Obdivovatelé Mandelbrotovy množiny často říkají, že se jedná o nejkrásnější a nejsložitější matematický objekt. Ani za nekonečně dlouhou dobu by nebylo možné prohlédnout celou množinu, ta totiž není klasickým fraktálem, ale multi-fraktálem. Jedná se o skutečnou nádhernou složitost, ve které se objevují prvky vždy trochu pozměněné při změně výřezu či měřítka. Soupis různých obrázků, které ji tvoří, nebo numerický popis obrysu množiny by vyžadoval nekonečné množství informací. Přitom k reprodukci celé Mandelbrotovy množiny stačí stručný počítačový program, který obsahuje jen několik desítek znaků kódu. Juliovy množinyDalšími matematickými fraktály na bázi TEA, které s Mandelbrotovou množinou souvisejí, jsou Juliovy množiny. Tyto množiny byly objeveny a zkoumány v době první světové války francouzskými matematiky Gatonem Julia a Pierre Fatou. Snad nejlépe vystihují tyto množiny slova matematika Adroene Douady: „Juliovy množiny jsou neuvěřitelně rozmanité. Některé z nich jsou tlusté obláčky, jiné vychrtlé keříky ostružiní, další vypadají jako jiskérky ohně, které se vznášejí poté, co skončil ohňostroj. Jedna tvarem připomíná králíka a spousta jich má ocasy jako mořští koníci.“ Jedná se o množiny, které nelze popsat slovy ani pomocí euklidovské geometrie. Tyto množiny inspirovaly Benoita Mandelbrota, který se pokusil najít sjednocující prvek této škály množin. Byla to právě již zmíněná Mandelbrotova množina. Pro Juliovu množinu je algoritmus velice podobný algoritmu Mandelbrotovy množiny:
kde počáteční u0 je komplexní číslo příslušného bodu, které je právě testováno a k je vstupní parametr který je zvolen. Opět jsou testovány všechny body komplexní roviny. Stejně jako u Mandelbrotovy množiny stačí kontrolovat průběžnou sumu. Jestliže průběžná suma algoritmu pro daný bod uniká do nekonečna, pak do množiny nepatří a pokud ani po nekonečně mnoha iteracích do nekonečna výsledek algoritmu neunikne, pak do množiny patří. Změna tvarů množin je závislá na volbě vstupního parametru k. Tento parametr je opět komplexní číslo, které souvisí s Mandelbrotovu množinou, obr. 12. Pokud bude vstupní parametr ležet uvnitř Mandelbrotovy množiny, pak Juliova množina bude „spojitý“ útvar. Pokud bude ležet mimo, pak se množina rozpadne na systém oddělených „chomáčků“. Jak je vidět, tak nejkrásnější Juliovy množiny vznikají při zadání parametru k, jehož hodnoty leží na hranici Mandelbrotovy množiny. Závislost a příklady jsou vidět na obr. 12. Změna tvarů množin je závislá na volbě vstupního parametru. Tento parametr je opět komplexní číslo. Do komplexní roviny vynesme Mandelbrotovu množinu. Pokud bude vstupní parametr ležet uvnitř Mandelbrotovy množiny, pak Juliova množina bude „spojitý“ útvar. Pokud bude ležet mimo, pak se nám množina rozpadne na systém oddělených „chomáčků“. Jak je vidět, tak nejkrásnější Juliovy množiny vznikají při zadání parametru k, jehož hodnoty leží na hranici Mandelbrotovy množiny. Závislost a příklady jsou vidět na obr. 12. Fraktální geometrie je ve své nejhlubší podstatě práce s metrickými prostory, na kterých se pracuje s limitami, ze kterých v konečné fázi vzniknou fraktály. Vztah mezi metrickými prostory a fraktály je dobře a srozumitelně vysvětlen v [10, 11].
Dynamické systémyVelice důležité jsou pro teorii chaosu tzv. Dynamické systémy. Mezi ně se řadí také fraktály vzniklé afinní transformací algoritmem TEA. Mezi dynamické systémy se řadí dále obecně bifurkační diagramy a atraktory. BifurkaceBifurkace znamená rozdvojení a například v zeměpise má význam rozdvojení řeky ve dva či více toků. Bifurkační diagramy však představují jedny z nejvýznamnějších nástrojů při studiu dynamických dějů a používají se často pro popis logistických rovnic. Bifurkační diagramy umožňují pohlédnout na rovnice jako celek, tedy dokáží vcelku jasně ukázat změny v chování těchto rovnic se změnou parametru. Princip těchto grafů je zřejmý z následujícího příkladu. Poprvé s bifurkačním diagramem
přišel Robert May a aplikoval jej na snad nejjednodušší logistickou funkci :
Pokud budeme parametr r dál pomalu zvětšovat, pak ustálené stavy budou tvořit spojitou křivku. Při dalším zvětšování však začne časová řada oscilovat mezi dvěma ustálenými stavy, obr. 13 uprostřed. Pak dojde k oscilaci mezi čtyřmi stavy, osmy, šestnácti,… nakonec máme časovou řadu, která nám osciluje chaoticky.. S dalším zvyšováním parametru r se občas vyskytují stabilní stavy se stavy chaotickými, obr. 13 dole. Bifurkační diagramy lze samozřejmě použít i na popis složitějších rovnic. AtraktoryAtraktory patří stejně jako bifurkace mezi tzv. Dynamické systémy. Snad nejznámějším atraktorem, který doslova změnil pohled na dynamické a nelineární soustavy, je Lorenzův podivný atraktor, obr. 14, který objevil Edward Lorenz. Jedná se o tři diferenciální rovnice, které tvoří nelineární soustavu. Je to jednoduchý systém, který nemá analytické řešení a je „nevyzpytatelný“. Malá změna parametrů povede k velkým změnám konečného výsledku. Tomu se říká s trochou nadsázky a s trochou vážnosti: „Motýlí efekt“.
Lorenz dospěl k atraktoru, když použil pro pochopení systému těchto tří diferenciálních rovnic fázového prostoru. Tradičně se změna hodnoty jedné z proměnných zobrazuje pomocí tzv. časového rozvoje (časové řady). Ve fázovém prostoru je v každém časovém okamžiku poloha bodu v trojrozměrném prostoru určována třemi proměnnými. Jak se systém mění, pohyb bodu představuje průběžně se měnící proměnné. Jinak řečeno ve fázovém prostoru odpovídá danému stavu bod určený polohou na třech osách, x, y, z. Vedle Lorenzova podivného atraktoru byly objeveny i další atraktory. Jedním z nejjednodušších je Hénonův atraktor, obr. 15. Ten je důkazem, jak na první pohled jednoduchý atraktor, může vykazovat vysokou složitost. Původně zdánlivě jednoduché linie jsou dvojice a posléze dvojice dvojic čar. Hénonův atraktor je příkladem matematického přehýbání a natahování oválu. Pro samotné fraktály má atraktor klíčový význam a ve své podstatě by fraktály nemohly bez atraktorů existovat. Atraktor je z hlediska fraktálu jeho limitou a ta je hromadným bodem.
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
.
Tato funkce se může jevit na první pohled jako „stabilní“.
Funkce je skutečně „stabilní“ a skutečně je, ale jen při nízké hodnotě zvoleného parametru r.
Pokud je tento parametr malý (např. 2,8), pak se časová řada, generovaná výše uvedenou rovnicí,
ustálí na konečné hodnotě, která se v bifurkačním diagramu zobrazí jako bod (obr. 13 nahoře).
